GLRTA: Extensión del problema generalizado de aproximación matricial de rango reducido a tensores tridimensionales con aplicaciones al procesamiento de imágenes y videos

El procesamiento de imágenes es el conjunto de técnicas que se aplican a las imágenes digitales con el objetivo de mejorar la calidad o facilitar la búsqueda de información. Una imagen en escala de grises se puede representar como una matriz, donde cada entrada puede expresarse como un número que toma valores en el intervalo [0,1]. Una imagen a color, utilizando el modelo de color RGB, también se puede representar como un arreglo de números, donde cada entrada representa uno de los tres componentes del color: rojo, verde y azul. Por lo tanto, una imagen a color se puede expresar como un arreglo de tres dimensiones. Una opción para estudiar este arreglo tridimensional de números es utilizando el álgebra tensorial. Un tensor de orden 3 (o tensor tridimensional) es un arreglo multidimensional de números ordenados en tres dimensiones: filas, columnas y tubos.

Una forma de realizar una modificación a una imagen a color es utilizar el álgebra tensorial y realizar operaciones tensoriales sobre dicha imagen, lo cual permite mejorarla y tener información sobre esta En el caso de imágenes a escala de grises, el problema generalizado de aproximación matricial de rango reducido, también conocido como problema GLRMA (generalized low-rank matrix approximation), permite eliminar el ruido de las imágenes utilizando bases de imágenes de entrenamiento para obtener una matriz que filtre el ruido. Sin embargo, en el estado actual del arte no se ha estudiado esta técnica en imágenes a color. Por ello, en este proyecto presentamos una propuesta para realizar una extensión al conjunto de tensores de orden tres del problema GLRMA, con la finalidad de poder comprimir y eliminar el ruido de las imágenes a color y vídeos. Este nuevo problema se denomina problema GLRTA (generalized low-rank tensor approximation). Para obtener la solución del problema GLRTA, utilizaremos la técnica de transformación matricial. Dicha representación matricial utiliza las caras frontales de los tensores tridimensionales para crear una matriz por bloques.

Después de obtener la solución teórica del problema GLRTA, se realizará una implementación computacional rápida en Octave, Python y C++, utilizando algoritmos que aceleran el cálculo de la t-pseudoinversa y de la t-SVD, que son generalizaciones a tensores de la pseudoinversa y la matriz SVD. Por último, aplicaremos el problema GLRTA a la compresión y eliminación de ruido en vídeos e imágenes a color, utilizando el problema GLRTA

Desarrollar la teoría del problema GLRTA y su posterior implementación computacional eficiente en el área del procesamiento de imágenes.

Matemática Aplicada: modelación, simulación, inteligencia artificial, análisis de datos, visualización de información, optimización y aplicaciones a la ingeniería y a las ciencias